В современных задачах динамики нелинейных систем метод Монте-Карло играет роль своего рода моста между теорией и экспериментом. Моделирование методом Монте-Карло является мощным инструментом решения задач статистической динамики. Модель Монте-Карло можно рассматривать как реализацию теоретических систем при изучении взаимодействия сложного нелинейного объекта с внешней средой.

Метод Монте-Карло связан с использованием весьма обширных массивов данных, моделирующих поведение исследуемой системы. Для получения достоверных значений физических переменных важное значение имеет надежность данных, получаемых в процессе статистического моделирования. Это требует высокого быстродействия и большого объема памяти вычислительных средств. Для решения таких задач используются высокопроизводительные вычислительные средства на базе суперкомпьютеров, в которых сочетаются современные достижения технологии построения элементной базы и конвейерная архитектура.

Идея метода Монте-Карло состоит в построении теоретической модели физической системы и выполнении некоторого стохастического алгоритма. Алгоритм Монте-Карло организован так, чтобы можно было получать конфигурации моделируемой системы с некоторым распределением вероятностей. При этом физические величины рассчитываются путем усреднения по всей выборочной совокупности. В типичном случае моделирование методом  Монте-Карло представляет собой случайный обход некоторого конфигурационного пространства физической системы так, чтобы множество генерируемых конфигураций соответствовало заданной функции распределения. Математические ожидания оценки среднего и дисперсии исследуемой характеристики определяется усреднением по моделируемой конфигурации.

Математическое обеспечение метода Монте-Карло включает программу численного интегрирования дифференциальных уравнений и реализации случайных функций и величин. В основу алгоритмов выработки случайных чисел и функций положен программный датчик псевдослучайных чисел, равномерно распределенных в интервале 0-1. Генерируемая датчиком последовательность случайных чисел с помощью стандартной подпрограммы преобразуется в последовательность случайных чисел, распределенных по нормальному закону с заданным математическим ожиданием и дисперсией.

Исходная математическая модель при реализации метода Монте-Карло в задаче о динамике судна на волнении преобразуется к виду, содержащему случайную нелинейную функцию восстанавливающего момента. Эту функцию можно представить как

M(q,j,t)/(J_x+DJ_x) = {1+m(t)cos[kt+e_o(t)]}´(w_q²q - aq²signq).    (1.3)

Параметр m (t) и фаза e (t) рассматриваются как случайные величины, распределенные соответственно по нормальному закону и закону равномерной плотности:

m(t)Î{M^*[m(t)], D^*[m(t)]}, e_o(t) Î [0; 2p].  (1.4)

Гипотеза о принадлежности  m(t) к закону Гаусса проверялась путем анализа реализации процесса  m(t).

Корреляционная функция R^*(t) процесса m(t) устанавливается по данным расчетов с использованием реальных регистраций морского волнения на основании метода [:]. Расчеты показывают, что величина Rm^*(t)  может быть представлена в виде следующей аппроксимации:

Rm^*(t) = D^*[m(t)]exp[-a(m)|t - t|]cosb(m)(t - t),   (1.5)

Для моделирования случайной функции  m(t) используется метод синтеза формирующего фильтра во временной области. Параметры фильтра однозначно определяются величиной дисперсии D^*[m(t)] и корреляционной функции Rm^*(t).

Разработанный фильтр описывается системой дифференциальных уравнений:

 
 (1.6)

M*[W₁(t)W₁(t )] = d*(t -t);
M*[W₁(t)W₂(t )] = 0;
M*[W₂(t)W₂(t )] = d*(t - t);              (1.7)
M*[ n(t)] = 0;  M*[m ₂(0)] = Dm*;
M*[n₂(0)] = Dn*; Dm = Dn;  
M*[m(0)n(0)] = 0.

Здесь W₁(t) и W₂(t) - случайные процессы типа <белый шум>; a(m)   и  b(m) - параметры корреляционной функции; n(t) - вспомогательный случайный процесс; M* и D* - операторы математического ожидания и дисперсии; d* - дельта-функция.

Приведенная математическая модель характеризует практическую процедуру моделирования процесса с заданными начальными условиями. Принципиальным моментом здесь является необходимость формирования случайных начальных условий, определенных выражениями (1.7). Последовательность решения задачи представлена на рис.1.3.

Рис.1.3. Поток информации при анализе нелинейной вероятностной
модели динамики судна на волнении методом Монте-Карло

Как показывают расчеты, метод Монте-Карло имеет ряд преимуществ перед другими методами решения задач статистической динамики нелинейных систем (метод статистической линеаризации, теория Марковских процессов). Главными из них являются компактность вычислительной схемы, устойчивость результатов по отношению к машинным сбоям, а также весьма простая оценка точности полученных данных. Удобство использования этого метода заключается также в том, что здесь не накладывается никаких дополнительных ограничений на структуру исследуемых дифференциальных уравнений, которые могут включать нелинейные члены с любым видом нелинейности. Необходимое условие применение схемы анализа методом Монте-Карло - предварительное исследование устойчивости системы, описываемой заданными дифференциальными уравнениями в принятой области изменения кажущейся частоты.

При практическом исследовании нелинейных задач динамики судна методом Монте-Карло важное значение имеет число испытаний N, обеспечивающее необходимую точность вычислений. Как показывают расчеты, величину N удобнее определять путем анализа сходимости оценок для дисперсии при увеличении числа испытаний. Такой подход оправдан не только практическими соображениями, но и тем, что обычные оценки точности Монте-Карло оказываются сильно завышенными. Анализ результатов моделирования позволяет сделать вывод о практической допустимости оценок точности в задачах динамики судов на волнении при сравнительно небольшом числе испытаний (N>200). В этих условиях относительная погрешность результата не превышает обычную погрешность при экспериментальном исследовании мореходности с использованием методов физического моделирования. Cледует отметить, что в задачах математической физики, требующих высокой точности, число статистических испытаний составляет тысячи, а иногда и десятки тысяч.

Анализ математической модели динамического наклонения судна на нерегулярном волнении позволяет получить обширные статистические данные, характеризующие  изменение q(t), q_max, а также области реализации опрокидывающего момента M_опр в зависимости от числа Фруда Fr.

Обработка данных статистических испытаний в области устойчивости производится по совокупности реализаций процесса q(t), формирующегося за счет случайных изменений начальной фазы в диапазоне (0-2p) и параметра  m(t)  в соответствии с корреляционной функцией Rm*(t). Оценки математического ожидания M*[q(t)] и дисперсии D*[q (t)] выходной переменной    устанавливаются по формулам математической статистики:

Полученные данные позволяют найти доверительные интервалы вероятности различных отклонений оценок M*[q(t)] и D*[q(t)] от соответствующих истинных вероятностных характеристик, а также закон распределения q(t). В качестве примера использования метода Монте-Карло ниже приведен анализ динамической остойчивости судна на нерегулярности попутном волнении интенсивностью 6 баллов. Ширина спектра, вычисленная для реальной записи морского волнения составляет 0,35. Статистические характеристики процесса m(t)   для заданных условий принимают значения:

M*[q(t)] = 0,465,  D*[q(t)] = 0,013.

Параметры корреляционной функции:

a(m)=0,070,     b(m) = p/16.

Результаты исследования представлены на рис.1.4, где указаны области изменения опрокидывающего момента, фрагмент реализации и корреляционная функция процесса m(t), а также сопоставление гистограммы распределения амплитудных значений m(t) с теоретической кривой нормального закона.