2. Визуализация как способ анализа результатов вычислительного эксперимента. Базовые операции при обработке информации.

При завершении вычислительного эксперимента возникает проблема анализа полученного решения.

Численное решение практически любой задачи порождает значительный объем числовой информации, которую необходимо первоначально систематизировать, чтобы в последствии интерпретировать разумным образом.

Традиционным способом представления результатов является построение графической зависимости вычисляемой величины. Функциональные зависимости могут быть от одной, двух или большего числа переменных.

В том случае, если рассматривается функция двух переменных, производится построение или изолиний (скалярное поле), или векторов и линий тока (векторное поле).

2.1 Представление результатов расчетов в виде специальным образом организованной файловой структуры.

При планировании вычислительного эксперимента имеет смысл заранее определить в каком качестве в дальнейшем будут использоваться рассчитываемые параметры, как вспомогательные, используемые для отладки и контроля счета, или как основные, путем анализа которых предполагается получить ответ на поставленную задачу. Так же следует предусмотреть форму организации файла данных, которая очевидным образом должна, во-первых, отражать предназначение экспериментальных результатов а, во-вторых, соответствовать структуре, принятой в том или ином прикладном графическом пакете.

Как правило, если речь идет о функции одной переменной, заданной табличным образом, файл данных организуется в виде двух столбцов, при этом в левом записываются значения аргументов, а в правом значения функции.

Если сеточная функция задается в форме двумерного массива чисел, т.е. рассматривается некоторое поле, то файл данных формируется в результате последовательного перебора значений функции сначала при фиксированной строке по столбцам или в другой последовательности при фиксированном столбце по строкам. Однако, хотя изложенный принцип является общим, конкретные способы организации файловой структуры могут существенно различаться для различных пакетов при рассмотрении функций многих переменных.

Необходимо сказать так же о том, что записи могут быть представлены как в двоичном, так и в ASCII формате. Преобразование данных в двоичный формат производится либо средствами конкретного графического приложения, либо специально для этого предназначенной программой.

2.2 Форматирование электронной страницы.

При визуализации результатов вычислительного эксперимента виртуальный образ листа бумаги формируется на экране монитора. Параметры страницы, как правило, задаются так, как это принято, в стандартных операционных системах, например, Windows. За тем определяется положение начала координатной сетки. Задаются положение и размеры осей координат. Далее оси размечаются, т.е. задаются: масштаб - равномерный, логарифмический или полулогарифмический; диапазоны, в которых изменяются значения координат и соответствующие значения функции; шаги сетки в направлении осей абсцисс и ординат - равномерные или нет; производится построение собственно сетки (при необходимости). Вместе с тем, интерактивные графические программы позволяют проводить указанные выше процедуры в автоматическом режиме.

2.3 Обработка данных - аппроксимация, интерполяция, сглаживание.

При обработке эмпирических данных, полученных в результате вычислительного эксперимента, применяются методы аппроксимации, интерполяции и сглаживания функциональных зависимостей, заданных аналитическим или табличным образом. Справку о конкретных методиках, реализованных в тех или иных приложениях, можно получить при обращении к этим приложениям. В настоящем курсе, при рассмотрении конкретных примеров построения функциональных зависимостей при помощи того или иного приложения, будет приведен синтаксис команд при обращении к соответствующим подпрограммам.

Далее приводятся определения задач аппроксимации, интерполяции и сглаживания функциональных зависимостей.

Пусть дана система непрерывно дифференцируемых функций . Функции вида

,

где - постоянные коэффициенты, называются обобщенными полиномами. Пусть также есть некоторая сеточная функция . Задача о приближении ставится следующим образом: данную функцию требуется аппроксимировать полиномом так, чтобы отклонение, в некотором смысле, функции от на заданном множестве было наименьшим. Это достигается путем подбора коэффициентов . Полином называется аппроксимирующим. Практически это означает замену функции , заданной табличным образом, на аналитическую функцию по возможности более точно.

Несколько иным образом ставится задача интерполяции, к которой прибегают тогда, когда известны только дискретные значения функции и, требуется вычислить значения между узловыми точками (собственно, интерполяция) или за отрезком узловых точек (экстраполяция).

Пусть известны значения функции в некоторой заданной системе точек , так называемых узлах интерполирования, тогда может быть поставлена задача интерполяции: для данной функции найти полином , степени не больше , который принимает в заданных точках те же значения, что и функция , т.е. такой, что

.

Полином называется интерполирующим.

Всегда существует только один интерполяционный многочлен, который, однако, может быть представлен в различной форме.

Особо следует остановиться на случае интерполяции функции с большим количеством узловых точек. Проблема заключается в выборе оптимального числа узлов интерполирования. При малом количестве, т.е. большом расстоянии между узлами, точность, почти наверняка, будет незначительной. При большом количестве узлов, как показывает практика, сильно искажается поведение функции. Кусочная интерполяция, при которой интерполяционные многочлены строятся для отдельных интервалов области определения функции, не решает задачу, поскольку в точках стыковки, как правило, терпит разрыв уже первая производная. В целях решения указанных проблем применяется так называемая - сплайн-интерполяция.

Строгое определение сплайн-интерполяции приводится ниже.

Пусть задана точка. Функция, интерполирующая на отрезке , ищется теперь не среди многочленов , а среди сплайн функций степени .

Пусть - система узловых точек . Функция называется сплайн функцией степени на , если

1) ;

2) - многочлен степени не больше при .

Сплайн-функция называется интерполирующей сплайн функцией, если

В приложениях, как правило, применяется кубическая сплайн-интерполяция.

Вместе с тем, необходимо учитывать, что экспериментальные результаты всегда содержат случайные ошибки и, следовательно, интерполяция функции не всегда приводит к построению зависимости, надлежащим образом отображающей количественное соотношение между вычисляемыми параметрами. Необходимо чтобы, кривая проходила между точками наблюдений и при этом некая мера отклонения была минимальной.

Таким образом, формулируется задача о сглаживании результатов вычислений, измерений или наблюдений.

Пусть задано множество функций и множество пар действительных чисел . Ищется такая функция , для которой при всех . Здесь - некоторая мера отклонения, которая определяет принцип или критерий сглаживания.

В заключение этого краткого обзора основных операций при обработке информации необходимо подчеркнуть, что, несмотря на автоматизацию большинства процедур, для достижения наилучшего результата применять предлагаемые методики следует творчески, с учетом конкретных особенностей поставленной задачи.