1. Основные понятия вычислительного эксперимента.

Метод математического моделирования или иначе вычислительный эксперимент, в наиболее полной форме традиционно представляется как конструкция из следующих в достаточной степени независимых блоков:

1) физическая модель исследуемого явления и феноменологическое описание системы определяющих параметров;

2) математическая модель, в которую включаются: уравнения, краевые условия и замыкающие систему соотношения такие как, например, в механике жидкости - уравнения состояния, полуэмпирические модели турбулентности и т.п.;

3) численный метод или специально разработанный или реализованная при рассмотрении конкретной задачи подходящая известная методика;

4) собственно расчеты, анализ и обработка результатов;

5) определение границ применимости метода математического моделирования - путем сопоставления с результатами численного решения аналогичной задачи другими методами или с данными физического (модельного или натурного) эксперимента.

Каждый из элементов описанной выше структуры в принципе может разрабатываться (или анализироваться) самостоятельно. Однако только объединение этих элементов может рассматриваться как завершенный вычислительный эксперимент. Кстати, уместно при планировании стратегии вычислений предусмотреть (по п.п.4,5) обязательное решение тестовых задач. Даже в том случае, если имеются надежные экспериментальные или расчетные данные.

Обоснование каждой из стадий математического моделирования в значительной степени связано с традицией, определяемой уровнем развития той научной дисциплины, к которой относится рассматриваемая задача.

В частности, в механике жидкости и газа, где вычислительный эксперимент применяется наиболее часто, математические модели базируются, как правило, на уравнениях идеальной, невязкой жидкости - Эйлера, или осредненных уравнениях турбулентного движения Рейнольдса. В связи с чем формальная запись уравнений математической модели, например, в форме уравнений сохранения, которыми описывается неустановившееся течение сплошной среды, не вызывает существенных проблем. То же самое относится к формальной постановке краевых условий в виде: условий отражения, скольжения, прилипания или перетекания на границах расчетной области. Аналогичным образом можно рассуждать в отношении формальной записи уравнения состояния среды, которая рассматривается при постановке каждой конкретной задачи.

Однако разработка методики численного интегрирования полной системы в трехмерной постановке и, в особенности, последующая интерпретация полученных результатов сопровождаются, на сегодняшний день, серьезными затруднениями. Вследствие чего уменьшается практическая ценность проведенного вычислительного эксперимента, и решение в целом переходит в разряд хотя и выдающихся, но все-таки экзотических научных достижений. Вместе с тем, моделирование течений жидкости в той или иной мере симметричных, допускающих описание процессов в терминах одномерной или двумерной модели с учетом влияния максимально возможного количества внешних факторов (источники, стоки, потери на излучение и т.п.), представляется на сегодняшний день наиболее плодотворным. Степень влияния тех или иных факторов устанавливается на основании анализа результатов этих расчетов с тем, чтобы в последствии разумным образом ограничить количество параметров при рассмотрении многомерных задач. Однако следует отметить, что проведение расчетов на базе суперкомпьютеров и внедрение в практику вычислений параллельных методов позволяет существенным образом уменьшить временные затраты (увеличить производительность).

Также не всегда удается элементарным образом перейти от формальной постановки граничных условий к конечно-разностному моделированию условий на границе.

Еще сложнее обстоит дело с численной реализацией уравнений состояния в том случае, если рассматривается многокомпонентная среда и в расчетной области появляются, так называемые смесевые ячейки.

Таким образом, центральной становится проблема анализа результатов вычислительного эксперимента, которые представляются в виде различным образом организованных наборов числовых значений рассчитываемых величин. Цель анализа, в том числе заключается в установлении адекватности реализованного метода математического моделирования. При интерпретации результатов целесообразно основываться, если такое возможно, на выводах, следующих из визуализации динамики всего процесса в целом (анимации). Однако, как правило, приходится анализировать отдельные составляющие компоненты в фиксированные моменты времени. Визуализация - это мощное средство анализа, которое включает, как правило, не только возможность графического представления результатов, полученных в ходе проведения расчетов, но и различные методики обработки и оценки точности данных вычислительного эксперимента.

1.1 Системы уравнений и их дискретные аналоги.

Метод дискретизации заключается во введении в области изменения независимых переменных так называемой - сетки, т.е. дискретной совокупности узловых точек. Функции непрерывного аргумента трансформируются при этом в сеточные функции, значения которых определяются в узлах сетки. Дифференциальные уравнения и краевые условия заменяются приближенными сеточными уравнениями с соответствующим образом измененными краевыми условиями.

Конечно-разностные схемы основываются на замене в дифференциальных уравнениях производных вида -, на разностные аналоги - в конечно-разностных уравнениях. При этом необходимо чтобы конечно-разностные схемы сходились в целом и являлись - устойчивыми.

Сходимость определяется как стремление, в пределе при уменьшении шагов по времени и координатам, конечно-разностного решения к решению соответствующего дифференциального уравнения (или системы уравнений).

Другим фундаментальным свойством, которому должны удовлетворять конечно-разностные уравнения является - устойчивость, т.е. реакция решения на малые изменения начальных данных, правых частей и краевых условий столь же незначительна. В частности, для системы линейных уравнений доказывается фундаментальная теорема Лакса о том, что наличие устойчивости является необходимым и достаточным условием сходимости конечно-разностной схемы, аппроксимирующей систему дифференциальных уравнений.

В качестве примера рассматривается дифференциальная формулировка уравнений сохранения для случая течения сферически симметричного течения идеального, невязкого газа. Уравнения сохранения массы, импульса и энергии, записанные в эйлеровых и в лагранжевых переменных имеют вид:

переменные Эйлера: переменные Лагранжа:

, ,

, ,

,

где .

Существуют различные методы численного решения подобных задач, которые не рассматриваются в настоящем курсе лекций. Однако общим для всех этих методов является то, что в процессе проведения вычислительного эксперимента исследователю приходится анализировать значительный объем информации, которая представляется одномерными и многомерными массивами чисел.

1.2 Скалярные и векторные поля.

Прежде чем дать определение скалярного и векторного поля напомним некоторые полезные для дальнейшего изложения понятия.

Функцией одного действительного переменного называется однозначное отображение множества в , причем . Множество называется областью определения функции и обозначается . Множество называется множеством значений и обозначается . Элемент, который ставится в соответствие элементу , обозначается и называется значением функции в точке . Пусть теперь и - координаты точки в какой-либо системе координат. Множество

(1.2.1)

называется графиком функции . При этом координата называется аргументом функции , а уравнение - функциональной зависимостью. Функция может задаваться и в неявной форме уравнением . Например: уравнение соответствует функциональной зависимости .

Аналогичным образом определяется функция многих переменных. В частности, функция двух переменных допускает следующую геометрическую интерпретацию. Множество точек

(1.2.2)

образуют в пространстве поверхность, которая и является графиком функции .

Далее, если , то точечное множество

называется линией уровня функции .

Следовательно, на линии уровня функция имеет постоянное значение. Таким образом, геометрически, линия уровня - это проекция на плоскость кривой пересечения графика функции с плоскостью параллельной плоскости .

Аналогично, для функции трех переменных, если , то точечное множество

называется поверхностью уровня функции . Иными словами, на поверхности уровня функция имеет постоянное значение.

Функция может быть задана табличным образом, при котором для конкретных точек области определения указываются соответствующие значения функции.

В общем случае, если некоторая величина выражается функциональной зависимостью следующего вида

,

т.е. является функцией пространственных координат и времени, то говорят, что образует скалярное поле. Иными словами, если каждой точке пространства ставится в соответствие величина , то эта величина образует скалярное поле. Это поле может быть как стационарным, так и нестационарным. Таким образом, скалярные величины полностью характеризуются численным значением и размерностью. Примерами скалярного поля могут служить, например, плотность среды, температура, электрический заряд, внутренняя энергия и т.п. параметры среды.

Свойства скалярных полей обычно изучаются при помощи поверхностей уровня , причем время рассматривается как параметр. Тогда, например, в простейших случаях возможны следующие варианты. Плоское поле имеет вид - . В этом случае линиями уровня называются кривые, на которых . Осевой симметрии соответствует цилиндрическое поле, , которое зависит только от расстояния точки до оси координатной системы. Все поверхности одинакового уровня обладают цилиндрической симметрией с общей осью. При условии осевой симметрии могут быть построены линии равного уровня для скалярного поля , в плоскости вертикального сечения цилиндрической системы координат, включающей координатную ось. Центральной симметрии отвечает сферическое поле, которое зависит только от расстояния точки до начала координат. В центральном поле поверхности всех сфер с центром в начале координат являются поверхностями равного уровня. В некоторых специальных случаях линии равного уровня могут вырождаться в точки, а поверхности в линии и (или) точки.

Предположим далее для наглядности, что поле является сферически симметричным. Тогда, - функция одной пространственной переменной и времени, т.е. поле в соответствии с данным выше определением - нестационарное. Тогда, если положить , то зависимость будет являться проекцией значений поля в точке на временную ось или сечением поля, или проще, зависимостью поля в точке от времени.

Одной из важных характеристик скалярного поля является градиент (производная по направлению). Пусть определена в окрестности точки , и пусть - единичный вектор в с координатами , где - угол между вектором и положительными направлениями осей координат. Если существует предел, то этот предел называется производной по направлению и обозначается . Если функция дифференцируема по каждой из координат в точке , то вектор называется градиентом функции в точке и обозначается . В общем случае

.

Основным свойством градиента функции является перпендикулярность к поверхности уровня . Направление градиента - есть направление наиболее быстрого роста функции (т.е. направление наибольшей производной по направлению).

Общее правило заключается в том, что чем ближе друг к другу располагаются линии равного уровня, тем быстрее изменяется функция .

Векторное поле характеризуется не только численным значением компонентов, но и направлением и обозначается . Таким образом, если каждой точке пространства ставится в соответствие вектор , то говорят о векторном поле. Скорость течения, импульс, сила тяжести, напряженность электрического поля - образуют векторные поля. Векторное поле в декартовых координатах записывается в виде: . Компоненты образуют три скалярных поля и однозначно определяют векторную функцию.

Образ и свойства векторного поля восстанавливаются при помощи линий тока, которые характеризуются тем свойством, что в каждой точке линии вектор поля направлен по касательной. Через каждую точку поля проходит только одна линия тока. Линии тока никогда не пересекаются, за исключением точек, в которых поле не определено либо .